CASOS DE FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN: Factorizar es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.
Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
CASOS DE FACTORIZACIÓN
CASO I FACTOR COMÚN
Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
Factor Común Monomio:
Ejemplo
72x2 y2 + 36x3 - 90x4
R: 18x2 (4y2 + 2x - 5x2)
Factor Común Polinomio
Ejemplo
m(x - 10) - n(x - 10)
R: (x – 10) (m-n)
CASO II FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINO
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.
Ejemplo
z2 + zy - az - ay
(z2 + zy) + (- az - ay)
z(z + y) - a(z +y)
(z - a) (z + y)
CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
Ejemplo;
4m2 – 12mn + 9n2
Raíz cuadrada de 4m2 = 2m
Raíz cuadrada de 9n2 = 3n
Doble producto sus raíces
(2 * 2m * 3n) = 12mn (cumple)
R: (2m – 3n) 2
CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo
9a2 - 25b 2
3a 5b = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: (3a + 5b) (3a - 5b)
CASO V TRINOMIO DE LA FORMA x2n + bxn + c
Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como
x2 + 5x + 6
a2 – 2a – 15
m2 + 5m – 14
y2 – 8y + 15
Que cumplen las condiciones siguientes:
• El coeficiente del primer término es 1
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa
Ejemplo
x2 - 7x + 10
R :( x - 5 ) ( x - 2 )
CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA ax2n + bxn + c
Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:
El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.
Ejemplo
2x2 + 3x – 2
(2) 2x2 +(2) 3x –(2) 2
= 4x2 + (2) 3x – 4
= (2x + 4 ) (2x – 1 )
2 x 1
R= (x + 2) (2x – 1)
CASO VII CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)3 = a2 +3a 2 b+3 a b 2 +b3 y (a-b)3 = a2-3a 2 b+3ab 2 - b3
La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:
1. Tener cuatro términos.
2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.
4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado
Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.
Ejemplo 1:
a3 + 3a2 + 3a + 1
Raíz cúbica de a3 = a
Raíz cúbica de 1 = 1
Segundo término= 3(a)2(1) = 3a2
Tercer término = 3(a)(1)2 = 3a
R: (a + 1)3
CASO VIII SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Pasos para resolver el ejercicio:
1. Descomponemos en dos factores.
2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos.
3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula (1) nos dice:
REGLA 1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)
La fórmula (2) nos dice:
REGLA 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 - b3 =(a-b) (a2+ab+b2)
Ejemplo
1 + a3
(1 + a) (12 – 1(a) +( a)2)
R:(1 + a) (1 – a + a2)
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