Antes de aprender los métodos, definamos que es un sistema de
ecuaciones, el cual es un conjunto de ecuaciones con varias incógnitas que
normalmente son parte de un problema matemático, y la solución son aquellos
valores de las incógnitas que satisfacen las ecuaciones.
Existen varios métodos para resolver los sistemas de
ecuaciones, trabajaremos con los siguientes:
1.- Sustitución
2.- Igualación
3.- Reducción
4.- Método gráfico
5.- Método de Gauss
MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES
Sustitución
Este método consiste en despejar alguna de las incógnitas en una ecuación (de preferencia la incógnita que tenga menor coeficiente) y sustituir su valor en otra ecuación.
Si tuviéramos un sistema con más de dos incógnitas, la incógnita despejada se sustituye en todas las demás ecuaciones excepto en la que se despejó, y ahora se tendría un sistema pero con una ecuación y una incógnita menos, este método se puede repetir hasta llegar a la solución.
Ejemplo
Dos números suman 25
y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son?
Sea ‘X´ un número.
Sea ‘Y´ el otro número.
X + Y = 25 (1)
2Y = 14 (2)
Primero despejamos una variable, en este caso la “X” de la ecuación 2:
Y = 14/2
R/TA Y = 7
Sustituimos “Y” en la
ecuaciones 1:
X + 7 = 25
R/TA X = 18
Nuestros resultados son X = 18, Y = 7
Igualación
Este método es muy parecido al de sustitución, consiste en despejar de
las dos ecuaciones la misma incógnita e igualarlas, para obtener el valor de la
segunda incógnita y después sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones que
despejamos.
Ejemplo
Tenemos dos números cuya suma es 0 y si a uno de ellos le sumamos 123
obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?
x= primer número
y= segundo número
La suma de los números es 0:
x + y = 0 (1)
Si al primero le sumamos 123 obtenemos el doble del segundo:
x + 123 = 2y (2)
Despejamos “x” en ambas ecuaciones:
x = -y (3)
x = 2y – 123 (4)
Igualamos y simplificamos:
-y = 2y – 123
y = 123/3
R/TA y = 41
Sustituimos y en la ecuación (3):
R/TA x = -41
Nuestros resultados son x = -41, y = 41
Reducción
Éste método es para sistemas lineales y de dos incógnitas (dos
ecuaciones), consiste en utilizar productos y divisiones para hacer que en las
dos ecuaciones una incógnita tenga el mismo coeficiente pero diferente signo, y
luego sumar las dos ecuaciones para que así esa incógnita se elimine y nos
quede una sola ecuación con una incógnita.
Ejemplo
Hallar un número de dos cifras que
cumple:
- La segunda cifra es el doble de la primera
- La suma de las cifras es 12.
El número es xy donde x es la primera
cifra e y la segunda.
La segunda cifra es el doble de la
primera:
y = 2x
-2x + y = 0 (1)
La suma de las cifras es 12:
x + y = 12 (2)
Multiplicamos la ecuación (2) por 2 y obtenemos:
2x + 2y = 24 (3)
Ahora sumamos las ecuaciones (3) y (2):
-2x + y = 0
2x +2y = 24
---------------
0 +3y = 24
y = 24/3
R/TA y = 8
Sustituimos y en la ecuación (1):
-2x + 8 = 0
2x = 8
x = 8/2
R/TA x =4
Nuestros resultados son x = 4, y = 8
Método gráfico
Sólo se utiliza con dos incógnitas.
Los pasos son los siguientes:
1.- Despejar “y” en las dos ecuaciones.
2.-Construir la gráfica para cada ecuación, obteniendo la tabla de
valores de cada una.
3.- Representar las dos rectas en una gráfica.
§ Si las rectas se
cortan, el punto de corte son los valores de “x” y “y”.
§ Si son la misma
recta, hay infinitas soluciones que son las coordenadas de los puntos de
esa recta.
§ Si las rectas son
paralelas, no hay soluciones reales.
Ejemplo
Hallar la medida de los lados de un rectángulo
cuyo perímetro es 24 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor.
Los rectángulos constan de cuatro lados: dos lados iguales (base) y
otros dos iguales (altura).
El perímetro es la suma de todos los lados.
x= lado mayor
y= lado menor
El perímetro es 24:
2x + 2y = 24
El lado mayor mide tres veces el menor:
x = 3y
Despejamos ‘y’ en ambas ecuaciones:
y = 12 – x
x
|
1
|
2
|
0
|
9
|
y
|
11
|
10
|
12
|
3
|
y = x/3
x
|
1
|
3
|
0
|
9
|
y
|
0.33
|
1
|
0
|
3
|
Método de Cramer
La regla de Cramer es un teorema del
álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en
términos de determinantes.
Sistema de 2x2
Para la resolución de un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:
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